3. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром а найдите расстояние: от вершины А1 до плоскостей АВС и АВ1D1; от вершины А до плоскости ВВ1D1.
4. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
6. Выполните контрольные задания
Основной уровень:1. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. 2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания а, высота h. Найдите боковое ребро пирамиды. 3. Докажите, что плоскость a и прямая b, не лежащая плоскости a, перпендикулярные одной и той же прямой а, параллельны.
Повышенный уровень: Что представляет собой геометрическое место точек, расположенных на прямых, проходящих через данную точку на прямой и перпендикулярных этой прямой?
Литература: Никольская И.Л. Семёнов Е.Е. Учимся рассуждать и действовать. – М.: Просвещение, 1989.
1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной также называют отрезок, соединяющей точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром.
Теорема (о трёх перпендикулярах, достаточное условие перпендикулярности двух прямых). Если прямая лежащая в плоскости, перпендикулярной ортогональной проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.
![]() |
Доказательство. Пусть прямая а плоскости a перпендикулярна проекции ОВ наклонной АВ. Т. к. прямая АО перпендикулярна плоскости a, то АО перпендикулярна прямой а, лежащей в этой плоскости. Поэтому прямая а будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ОВ. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ, и Þ она будет перпендикулярна наклонной АВ.
![]() |
Теорема. Перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче всякой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости.
Доказательство.
Пусть АО перпендикуляр к плоскости a, АВ – наклонная к этой плоскости. Треугольник АОВ – прямоугольный, АО –катет, АВ – гипотенуза отсюда следует, что АО<АВ.
Определение. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с ней прямой угол.
Теорема. Угол между наклонной и плоскостью является наименьшим из всевозможных углов между этой наклонной и прямыми, лежащими в данной плоскости.
Доказательство.
Пусть а- наклонная к плоскости a, О- их точка пересечения, b- ортогональная проекция наклонной, с- прямая в плоскости a, проходящая через точку О. Требуется доказать, что угол между прямыми а и b меньше угла между прямыми а и с.Для этого на прямой а возьмём точку А, отличную от точки О и ее ортогональную проекцию В. На прямую с отложим отрезок ОС, равный ОВ. На прямую с отложим отрезок ОС, равный ОВ. В треугольниках АОВ и АОС сторона АО- общая, ОВ=ОС, АВ<АС отсюда следует, что угол АОВ меньше угла АОС.
Полезная информация:
Природа и духовное начало народных воспитательных традиций
Духовность нации – сложное понятие. В русской религиозной философии оно использовалось прежде всего для объяснения самостоятельности культурной субстанции народа и определяющей роли исторических судеб наций. В советской теории оно не было столь употребимо и не нашло своего места как в системе понят ...
Строение мотивации учения
Для того, чтобы школьник по-настоящему включился в работу, нужно, чтобы задачи, которые ставятся перед ним в ходе учебной деятельности, были внутренне им приняты и поняты, т.е. чтобы они приобрели значимость для учащегося и нашли, таким образом, отклик и опорную точку в его переживании. Мотив – это ...
Методика проведения дыхательной гимнастики по Стрельниковой А.Н. с детьми дошкольного
возраста
Дыхательной гимнастикой по Стрельниковой А.Н. можно заниматься как индивидуально, так и с группой детей, причем в разное время дня и в любом месте. В детском саду можно использовать время разных режимных моментов исключая 20 минут до еды и 1 час после еды[30]. На прогулке дыхательная гимнастика про ...