Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем:
Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: .
В координатной плоскости xOa строим график функции .
Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции
, б) пересекает график функции
в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.
Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д.
Пример. При каких значениях параметра уравнение
имеет два корня?
Решение. Переходим к равносильной системе
Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.
Ответ. При уравнение имеет два корня.
Пример. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение
имеет только два различных корня.
Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:
Теперь важно не упустить, что ,
и
– корни исходного уравнения лишь при условии
. Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости
. На рисунке 4 искомый график – объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.
Ответ. При , или
, или
.
Полезная информация:
Возрастные
особенности младших подростков
Согласно стандарту общего математического образования, систематический курс дробей входит в курс арифметики и изучается в пятом и шестом классах средней школы. Возраст учащихся 5–6 классов колеблется от 10 до 13 лет. Чаще всего этот период относят к подростковому возрасту, некоторые психологи выдел ...
Средства и методы адаптивного физического воспитания детей с ДЦП в дошкольном
возрасте
Физическое воспитание является важной частью общей системы обучения, воспитания и лечения детей с церебральным параличом. Вопросы физического воспитания этих детей рассмотрены в работах М.В.Ипполитовой, Р.Д.Бабенковой, В.А. Бубновой. Основной целью физического воспитания является развитие двигатель ...
Единство физического и психического развития ребенка
Психические процессы: восприятие, внимание, воображение, память, мышление, речь – выступают как важнейшие компоненты любой человеческой деятельности. Деятельность ребенка раннего и дошкольного возраста выражается прежде всего в движениях. Первые представления о мире, его вещах и явлениях к ребенку ...