Величина — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.
Задатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.
Еще 4—5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов (в Древнем Китае мерой площади был прямоугольник).
Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, b, с, d (рис. 1) применялась формула
т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым.
Для определения площади S равнобедренного тpeyгольника АВС, в котором |АВ| = |АС| , египтяне пользовались приближенной формулой:
Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой
треугольника, иными словами, чем ближе вершина В (и С) к основанию D высоты из А. Вот почему приближенная формула применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.
Понятие угла на протяжении веков не оставалось без изменений, оно обобщалось и расширялось под влиянием запросов практики и науки. Градусная система измерения углов, в которой за единицу принят угол, равный части угла, соответствующего полному обороту одной стороны угла около его вершины, восходит к III - II тысячелетиям до н. э., к периоду возникновения шестидесятеричной системы счисления в вавилонской математике.
Шестидесятеричное градусное измерение, как и шестидесятеричные дроби, проникло далеко за пределы ассиро-вавилонского царства и получило широкое распространение в странах Азии, Северной Африки и Западной Европы. Они применялись, в частности, в астрономии и связанной с ней тригонометрии.
Гиппарх, Птолемей и другие древнегреческие астрономы употребляли таблицы, в которых давались величины хорд, соответствующих данным дугам. Хорды (как и дуги) измерялись градусами, минутами и секундами, при этом один градус составлял обычно шестидесятую часть радиуса. Индийцы заимствовали через греков вавилонское градусное измерение дуг, но вместо хорд они измеряли линии синусов и косинусов. Градусным измерением пользовались и ученые стран Ближнего и Среднего Востока, внесшие большой вклад в развитие тригонометрии.
Выдающийся немецкий математик и астроном XV в. Региомонтан отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса, что позволило выражать синусы целыми числами, а не шестидесятеричными дробями. Аналогично поступали и многие последовавшие за ним европейские математики.
Во время буржуазной революции конца XVIII в. во Франции была введена наряду с метрической системой мер и центезимальная (сотенная) система измерения углов, в которой прямой угол делился на 100 градусов, градус- на 100 минут, минута - на 100 секунд. Эта система применяется и поныне в некоторых геодезических измерения, но всеобщего употребления пока не получила.
В связи с возникновением и развитием теории пределов и математического анализа с целью придать многим формулам возможно более простой вид в тригонометрии ввели радианное измерение дуг и углов. Термин «радиан» происходит от латинского radius — радиус.
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов и площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.
Среди замечательных греческих ученых V—IV вв. до н. э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.
Евклид не применяет термина «объем». Для него термин «куб», например, означает и объем куба. В XI книге «Начал» изложены среди других и теоремы, следующего содержания.
Полезная информация:
Логико-дидактический анализ темы «Подобные треугольники
» по учебнику Атанасяна Л.С
Тема подобные треугольники в учебнике Атанасяна Л.С. вводиться в 8 классе и включает в себя четыре параграфа, каждый из которых делиться на пункты. §1. Определение подобных треугольников. §2. Признаки подобия треугольников. §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. §4. соотнош ...
Принцип прочности
Означает способность учащегося при необходимости воспроизвести изученное и воспользоваться соответствующими знаниями в практической деятельности, т. е. прочность – это не только глубокое запоминание, но и умение воспользоваться тем, чем располагает память. В этом заключается главная особенность дан ...
Значение внеклассной работы в курсе экологического воспитания
В качестве дополнительной формы учебно-воспитательной работы с детьми можно назвать внеклассные занятия по естествознанию. Эта работа преследует те же цели, что и школьные занятия. Но в отличие от систематических уроков у внеклассной работы нет обязательной программы и строится она на основе интере ...