Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Полезная информация:

Детский оздоровительный лагерь и его функции
Летние каникулы для школьников – это восстановление здоровья, и развитие творческого потенциала, и совершенствование личностных возможностей, и приобщение к культурным и образовательным ценностям, и вхождение в систему новых социальных связей, и воплощение собственных планов, и удовлетворение индив ...

Формы активного обучения, используемые в методике преподавания психологии
Среди активных методов обучения три группы методов наиболее интересны для использования в целях управления ситуацией формирования всех видов мышления. Это метод 1) программированного обучения, 2) проблемного обучения, 3) интерактивного (коммуникативного) обучения. Все эти методы были предложены как ...

Формирование коммуникативных умений учащихся на уроках грамматики
Умение и навык в психологии рассматриваются как действия в процессе решения тех или иных задач, в дидактике и лингводидактике - как этапы овладения новым способом действия. Умение представляет собой способность к сознательному действию в измененных или новых условиях, производимому на основе каких- ...

Copyright © 2017-2021 - All Rights Reserved - www.jafoste.site