Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам.
Замечание. При системы координат Oij и O/i/j/ одинаково ориентированы, а при
противоположено ориентированы.
Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при и преобразованием подобия второго рода при
.
Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k.
Гомотетия плоскости.
Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М/ по закону
.
Обозначение.
- гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.
Определение. Гомотетичными называются фигуры и
=
.
Гомотетичные точки М и М/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О.
Точки М и М/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0.
М/N/= |k|MN.
Гомотетия плоскости является при:
k=1-тождественным преобразованием;
k=-1-центральной симметрией.
Формулы гомотетии с центром в начале координат:
,
Если центр гомотетии имеет координаты S(x0, y0), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:
,
Если введем обозначения ,
то получим формулы
,
Основное свойство гомотетии.
Для любых точек М, N и их образов ,
имеет место равенство:
.
Доказательство. Воспользуемся равенствами:
,
,
,
и найдём
Полезная информация:
Изготовление модели космического летательного аппарата типа
шатал
Космический шатл не оснащается двигателями. Модель легка и представляет собой декоративную копию настоящего объекта. Модель можно установить на подставку, либо нитью закрепить и подвесить в помещении. Для постройки модели шатала, необходима плотная бумага (3 листа формата А3), нитки и клей (Глобус) ...
Особенности младшего школьного и подросткового возраста
Часто сталкиваясь в своей практике с трудностями, возникающими у детей, педагоги и психологи пытаются анализировать каждую конкретную ситуацию, учитывая при этом общие возрастные особенности ее участников. Основная опора для специалистов - это периодизации возрастного развития. Наиболее общеприняты ...
Организация кружковой работы по развитию творческого воображения у детей с
задержкой психического развития
Экспериментальное исследование проблемы развития творческого воображения у детей с задержкой психического развития содержало и развивающий эксперемент (2 этап), заключающий в анализе системы кружковой работы, способствующей развитию творческого воображения у воспитанников. Целью развивающего экспер ...